Ángulo
Ángulo, porción de plano determinada por dos semirrectas con origen común.
Las semirrectas que lo forman se llaman lados del ángulo y el punto común, vértice. Lo que caracteriza a un ángulo es la apertura de sus lados. Si los lados de un ángulo α están más abiertos que los de otro β se dice que α es mayor que β.
Dos mismas semirrectas con origen común determinan dos ángulos distintos; el menor de ellos se llama ángulo convexo y el mayor, cóncavo:
El ángulo convexo no contiene en su interior a las semirrectas opuestas a sus lados, mientras que el ángulo cóncavo sí las contiene.
Si los dos lados del ángulo son semirrectas de la misma recta, el ángulo que forman se llama ángulo llano:
Se llama ángulo completo a aquel cuyos dos lados coinciden, y que está formado por todo el plano.
Los ángulos convexos son menores que un ángulo llano, mientras que los cóncavos son mayores que un llano.
Un ángulo recto es el ángulo convexo que tiene sus lados perpendiculares. Los ángulos convexos mayores que uno recto se llaman obtusos y los menores, agudos.
Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado y el vértice común y están en distintos semiplanos. En la figura, los ángulos aVb y bVc son consecutivos:
Transportar un ángulo es dibujar otro con la misma apertura que el primero y en el lugar que se desee. Para ello se puede utilizar el transportador de ángulos, que es una plantilla graduada con la que se pueden medir ángulos. También se puede transportar un ángulo aVb a otro lugar del plano con vértice V’ y lado a’ del siguiente modo:
Se abre el compás con un cierto radio y se trazan sendos arcos con centros en V y en V’. El primero determina dos puntos A y B en los lados de aVb. La distancia d, entre A y B, se lleva con el compás al segundo arco, determinando así el punto B’ por el que pasa el segundo lado b’ del ángulo a’V’b’.
Dos ángulos son iguales si al superponerlos (es decir, al transportar uno sobre otro) coinciden.
Para sumar dos ángulos se transporta uno de ellos situándolo consecutivo al otro. El ángulo formado por los lados exteriores es el ángulo suma:
Dos ángulos convexos se llaman opuestos por el vértice si sus lados son semirrectas opuestas:
Dos ángulos consecutivos cuyos lados exteriores son semirrectas opuestas se llaman adyacentes:
Al cortar dos rectas paralelas, r y s, por otra recta t se forman ocho ángulos entre los cuales se dan las siguientes relaciones de igualdad:
• Opuestos por el vértice:
• Correspondientes:
• Alternos internos:
• Alternos externos:
2 MEDIDA DE ÁNGULOS
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. La unidad de medida de ángulo más usual es el grado sexagesimal, que consiste en 1/360 del ángulo completo. La medida de un ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo º. Por ejemplo, un ángulo de 56º.
Un ángulo recto tiene 90º. Los ángulos agudos tienen menos de 90º y los obtusos más de 90º, pero menos de 180º.
Si la medida de un ángulo es α, su complementario será 90º - α, y su suplementario 180º - α.
El grado sexagesimal tiene submúltiplos: el minuto, 1/60 de grado, y el segundo, 1/60 de minuto, es decir, 1/3.600 de grado. El minuto se designa ′ y el segundo ′′. De tal modo que la medida de un ángulo en grados, minutos y segundos sería, por ejemplo, 84º 17′ 43′′.
Hay otras unidades de medida de ángulo, como el grado centesimal y el radián.
El grado centesimal es una centésima de ángulo recto. Sus submúltiplos son el minuto centesimal (una centésima de grado) y el segundo centesimal (una centésima de segundo). Un ángulo dado en grados, minutos y segundos centesimales se expresaría así: 96g 34m 85s. Estas unidades de medida están prácticamente en desuso.
El radián (rad) es un ángulo que abarca un arco cuya longitud es igual al radio con el que ha sido trazado. Su relación con el grado sexagesimal es la siguiente: 180º = p rad. Es decir, 1 rad equivale aproximadamente a 57º 17′ 45′′. Esta unidad de medida de ángulos se utiliza en matemáticas avanzadas.
En el ejército se utiliza la milésima artillera, que es 1/1.600 de ángulo recto y, aproximadamente, una milésima de radián.
jueves, 18 de marzo de 2010
sábado, 13 de marzo de 2010
martes, 2 de marzo de 2010
VECTORES
Vector
Vector, en matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como B en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.
El uso sencillo de los vectores así como los cálculos utilizando vectores quedan ilustrados en este diagrama, que muestra el movimiento de una barca para atravesar una corriente de agua. El vector a, u A, indica el movimiento de la barca durante un determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; el vector b, o $, representa la deriva o empuje de la corriente durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y de la corriente, se representa con el vector c, u B. Utilizando vectores, se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.
Este método de resolución de problemas, conocido como adición vectorial, se lleva a cabo según se explica a continuación. Un vector que representa una fuerza se dibuja empezando por el origen O en la dirección y con el sentido apropiados. La longitud del vector es proporcional a su valor real según una escala determinada, que puede ser un cierto número de centímetros por cada kilómetro. En el dibujo anterior, la velocidad al remar es de 2,2 km/h, el tiempo transcurrido es 1 hora y la escala es 1 cm por cada km. Por tanto, el vector A mide 2,2 cm y representa 2,2 km. La velocidad de la corriente del río es de 6 km/h, y se representa con el vector $ que mide 6 cm, lo que indica que la corriente recorre una distancia de 6 km en una hora. Este segundo vector se dibuja con su origen en el extremo del vector a y en dirección paralela al movimiento de la corriente. El punto B, extremo del segundo vector, es la posición real de la barca después de una hora de viaje, y la distancia recorrida es la longitud del vector c, u B (en este caso, unos 6,4 km).
Los problemas de adición y sustracción de vectores, como el anterior, se pueden resolver fácilmente utilizando métodos gráficos, aunque también se pueden calcular utilizando la trigonometría. Este tipo de cálculos es de gran utilidad para resolver problemas de navegación y movimiento en general; también se utilizan en la mecánica y otras ramas de la física. En las matemáticas de nuestros días, un vector es considerado como un conjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización. El análisis vectorial (es decir, el álgebra, la geometría y el cálculo de cantidades vectoriales) aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de la ciencia e ingeniería.
Vector, en matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como B en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.
El uso sencillo de los vectores así como los cálculos utilizando vectores quedan ilustrados en este diagrama, que muestra el movimiento de una barca para atravesar una corriente de agua. El vector a, u A, indica el movimiento de la barca durante un determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; el vector b, o $, representa la deriva o empuje de la corriente durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y de la corriente, se representa con el vector c, u B. Utilizando vectores, se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.
Este método de resolución de problemas, conocido como adición vectorial, se lleva a cabo según se explica a continuación. Un vector que representa una fuerza se dibuja empezando por el origen O en la dirección y con el sentido apropiados. La longitud del vector es proporcional a su valor real según una escala determinada, que puede ser un cierto número de centímetros por cada kilómetro. En el dibujo anterior, la velocidad al remar es de 2,2 km/h, el tiempo transcurrido es 1 hora y la escala es 1 cm por cada km. Por tanto, el vector A mide 2,2 cm y representa 2,2 km. La velocidad de la corriente del río es de 6 km/h, y se representa con el vector $ que mide 6 cm, lo que indica que la corriente recorre una distancia de 6 km en una hora. Este segundo vector se dibuja con su origen en el extremo del vector a y en dirección paralela al movimiento de la corriente. El punto B, extremo del segundo vector, es la posición real de la barca después de una hora de viaje, y la distancia recorrida es la longitud del vector c, u B (en este caso, unos 6,4 km).
Los problemas de adición y sustracción de vectores, como el anterior, se pueden resolver fácilmente utilizando métodos gráficos, aunque también se pueden calcular utilizando la trigonometría. Este tipo de cálculos es de gran utilidad para resolver problemas de navegación y movimiento en general; también se utilizan en la mecánica y otras ramas de la física. En las matemáticas de nuestros días, un vector es considerado como un conjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización. El análisis vectorial (es decir, el álgebra, la geometría y el cálculo de cantidades vectoriales) aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de la ciencia e ingeniería.
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